Descubra os 'Einsteins' e seu grande mistério matemático

Eles são conhecidos como einsteins, não em referência ao famoso físico, mas como um jogo de palavras com a expressão alemã ein stein, que significa uma pedra. Embora neste caso fosse mais adequado traduzi-lo como um ladrilho, referindo-se a uma forma fechada que pode cobrir uma superfície sem deixar lacunas. Resumindo, uma tessera, mas com características únicas que levaram à solução de um dos grandes mistérios matemáticos.

As tesselas ou ladrilhos do tipo Einstein caracterizam-se pelo fato de serem aperiódicos, o que significa que, quando dispostos em conjunto como um mosaico, são capazes de cobrir um plano infinito em sua totalidade, mas ao mesmo tempo, sem formar padrões repetitivos, portanto que nenhum tipo de simetria pode ser discernido. Qualquer que seja a divisão do mosaico, cada seção é única, nenhuma repetindo o padrão da outra. Os Einsteins são o equivalente em mosaico dos números irracionais.

Este projeto parece incrível ou impossível porque é difícil imaginar que em uma extensão infinita não haja duas regiões ou seções, por menores que sejam, que possam coexistir com o mesmo layout de mosaico. Na verdade, durante mais de meio século, os matemáticos duvidaram que isso fosse possível. E então, em março de 2023, foi confirmada a descoberta do “chapéu”: o esquivo Einstein.

Quase assim que foi apresentado ao público, o chapéu foi adoptado por vários artistas e criadores como motivo para os seus designs, alguns dos quais são verdadeiros jogos em si. Por exemplo, nesta composição criada pelo artista e matemático americano Robert Fathauer, é preciso identificar quantas camisas e quantos chapéus existem:

Neste mosaico, os chapéus foram transformados em tartarugas e o desafio é identificar a outra tartaruga refletida, aquela que está com a cabeça voltada para a esquerda:

O problema da existência ou inexistência deste tipo de forma começou em 1961, quando o matemático chinês Hao Wang formulou a chamada “conjectura de Wang“, na qual sugeriu que qualquer conjunto de formas ou mosaicos que possam cobrir um espaço em sua totalidade também permite um mosaico periódico. Essa conjectura, porém, foi refutada apenas cinco anos depois, em 1966, pelo matemático Robert Berger, que também identificou o primeiro conjunto de peças aperiódicas: um “monstro” de 20.426 formatos de ladrilhos capaz de comprovar a aperiodicidade.

A partir desse momento, muitos matemáticos começaram a descobrir um conjunto cada vez menor de formas. Esta busca foi liderada em 1974 pelo brilhante físico e matemático Roger Penrose, que apresentou uma solução elegante baseada em duas formas muito simples batizadas de “a pipa” e “o dardo”.

O físico e matemático Roger Penrose apresentou uma solução elegante baseada em duas formas muito simples batizadas de “a pipa” e “o dardo”. Crédito: Projeto próprio

Desde então, e apesar do esforço contínuo, ninguém conseguiu reduzir ao mínimo o número de formas. Ou seja, encontrar um único desenho capaz de tesselar uma superfície infinita sem qualquer periodicidade.

Neste jogo o objetivo é preencher cada um dos tabuleiros encaixando as peças que os acompanham:

Numa reviravolta do destino, há alguns meses, em novembro de 2022, David Smith, um entusiasta britânico aposentado da matemática, conseguiu resolver o enigma indescritível. Primeiro, brincando com um programa de computador que lhe permitiu desenhar e montar diferentes formas. Então, quando encontrou um design promissor, ele cortou vários pedaços de papel para experimentar. Foi assim, quase como num jogo infantil, que descobriu “o chapéu”, um polígono surpreendentemente simples de 13 lados que, no entanto, cumpre os requisitos para ser um Einstein. Ou melhor, ser o primeiro Einstein. Esta propriedade acaba de ser demonstrada pelo cientista da computação Craig Kaplan – a quem Smith recorreu quando tomou conhecimento da sua descoberta – em colaboração com outros matemáticos, num artigo que revolucionou a comunidade matemática. Tanto mais que o desenho descoberto não é único, mas apenas o primeiro de todo um continuum de einsteins que são obtidos modificando a proporção e o tamanho dos lados do formato original do chapéu.